Matematika (28.04.2024)

45 ta savol · saqlash uchun kiring

Matematika formulalar varaqasi / Лист формул по математике

Tenglamalar / Уравнения

ax^{2}+bx+c=0; \quad x_{1:2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}; \quad \begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}

|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|\Rightarrow f(x)\cdot g(x)\ge0;

\frac{Ax}{ax^{2}\pm bx-c}\pm\frac{Bx}{ax^{2}\pm dx+c}=k \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{ax-\frac{c}{x}\pm b}\pm\frac{B}{ax+\frac{c}{x}\pm d}=k;

(ax^{2}\pm bx-c)(ax^{2}\pm dx+c)=Ax^{2} \quad \Rightarrow \quad (ax-\frac{c}{x}\pm b)(ax+\frac{c}{x}\pm d)=A;

ax+\frac{c}{x}=z

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = A \quad \Rightarrow \quad a+b=c+d

bo'lsa,

t=x^{2}-(a+b)x

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

Qisqa ko'paytirish formulalari / Формулы сокращённого умножения

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(a\pm b)^{2}=(a^{2}\pm2ab+b^{2})

(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})

a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

a^{2n}\pm b^{2n}=(a\pm b)(a^{2n-1}\mp a^{2n-2}b+...+ab^{2n-2}\mp b^{2n-1})

a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=(a\pm b)(a^{2n}\mp a^{2n-1}b+...+ab^{2n-1}\mp b^{2n})

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^{2}+...

...+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-(k-1))}{k!}+...+nab^{n-1}+b^{n}

Arifmetik progressiya / Арифметическая прогрессия

a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d;

a_{n}=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2} \quad (1\le k\le n-1);

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n

Geometrik progressiya / Геометрическая прогрессия

b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}; \quad b_{n}^{2}=b_{n-m}\cdot b_{n+m} \quad (1\le m\le n-1);

S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q} \quad (|q|>1);

S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q} \quad (|q|<1);

Logarifmning xossalari / Свойства логарифмов

log_{a}1=0; \quad log_{a}(x_{1}\cdot x_{2})=log_{a}|x_{1}|+log_{a}|x_{2}|;

log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}}=log_{a}|x_{1}|-log_{a}|x_{2}|; \quad log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a};

log_{a^{q}}x^{p}=\frac{p}{q}\cdot log_{a}x; \quad log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a};

lg10^{n}=n; \quad lne^{n}=n;

Daraja va ildiz / Степень и корень

a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n}; \quad a^{n}:a^{m}=a^{m-n}; \quad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n};

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}; \quad (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}; \quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};

(\frac{a^{n}}{b^{m}})^{-k}=(\frac{b^{m}}{a^{n}})^{k}; \quad (-a)^{2n}=a^{2n}; \quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1};

\sqrt[n]{a^{k}}=a^{\frac{k}{n}}; \quad \sqrt[n]{a^{k}\cdot b^{m}}=\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[n]{b^{m}};

\sqrt[n]{\frac{a^{k}}{b^{m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{k}}}{\sqrt[n]{b^{m}}}; \quad (\sqrt[n]{a^{m}})^{k}=\sqrt[n]{a^{mk}}; \quad \sqrt[n]{a^{n+k}}=a\sqrt[n]{a^{k}};

a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}}; \quad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a^{k}}}=\sqrt[nm]{a^{k}};

\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[m]{b^{p}}=\sqrt[nm]{a^{km}\cdot b^{pn}}; \quad \sqrt[n]{a^{n}}=|a| \quad (n=2k);

\sqrt[2n]{(a-b)^{2n}}=\begin{cases}a-b, & a\ge b\\ b-a, & b\ge a\end{cases}

Urinma va normal tenglamasi / Уравнение касательной и нормали

y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0});

y=f(x_{0})-\frac{1}{f^{\prime}(x_{0})}(x-x_{0});

Hosilaga doir formulalar va xossalari / Таблица производных и свойства

(x^{a})^{\prime}=ax^{a-1}; \quad (a^{x})^{\prime}=a^{x}ln a; \quad (e^{x})^{\prime}=e^{x};

(log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x ln a}; \quad (ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}; \quad (sin x)^{\prime}=cos x;

(cos x)^{\prime}=-sin x; \quad (tg x)^{\prime}=\frac{1}{cos^{2}x}; \quad (ctg x)^{\prime}=-\frac{1}{sin^{2}x};

(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}; \quad (k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime};

(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}; \quad (\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^{2}};

Integralga doir formulalar va xossalari / Таблица и свойства интегралов

\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C; \quad \int\frac{dx}{x}=ln|x|+C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C; \quad \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C;

\int sinx dx=-cosx+C; \quad \int cosx dx=sinx+C;

\int k\cdot f(x)dx=k\cdot\int f(x)dx;

\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a); \quad \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \quad (a\le c\le b);

O'rta arifmetik va o'rta geometrik / Среднее арифметическое и среднее геометрическое

A=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}; \quad G=\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n}}

Ba'zi trigonometrik formulalar / Основные формулы тригонометрии

Asosiy trigonometrik ayniyatlar / Основные тригонометрические свойства:

sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1; \quad tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}; \quad ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha};

tg^{2}\alpha+1=\frac{1}{cos^{2}\alpha}; \quad ctg^{2}\alpha+1=\frac{1}{sin^{2}\alpha};

cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta\mp sin\alpha\cdot sin\beta;

sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta\pm cos\alpha\cdot sin\beta;

tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg\alpha\pm tg\beta}{1\mp tg\alpha\cdot tg\beta}; \quad ctg(\alpha\pm\beta)=\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta\mp1}{ctg\alpha\pm ctg\beta};

sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

sin\alpha-sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2};

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2};

Trigonometrik funksiyaning ba'zi burchaklardagi qiymatlari / Значения тригонометрической функции под некоторыми углами

$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0

To'g'ri burchakli uchburchak uchun formulalar / Формулы для прямоугольного треугольника

a^2 + b^2 = c^2;

a = c \cdot \sin\alpha

b = c \cdot \cos\alpha;

a = b \cdot \text{tg}\alpha

Ixtiyoriy uchburchak uchun formulalar / Формулы для произвольного треугольника

S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

p = \frac{1}{2}(a + b + c); \quad S = \frac{1}{2}h_c \cdot c

\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

Uchburchak uchun formulalar (umumiy) / Формулы для треугольника (общие)

S=\frac{1}{2}ab sin\gamma; \quad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};

p=\frac{1}{2}(a+b+c); \quad S=\frac{1}{2}h_{c}\cdot c;

\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R; \quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha;

To'g'ri burchakli uchburchak / прямоугольный треугольник:

a^{2}+b^{2}=c^{2}; \quad a=c\cdot sin\alpha; \quad b=c\cdot cos\alpha; \quad a=b\cdot tg\alpha;

Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylana radiuslarini hisoblash formulasi /
Формула вычисления радиусов окружности, вписанной внутрь и вне треугольника

r=\frac{2S}{a+b+c}; \quad R=\frac{abc}{4S};

To'rtburchakning yuzlari uchun formulalar / Формулы граней четырехугольника

Parallelogramm / параллелограмм:

S=a\cdot h_{a}; \quad S=a\cdot b\cdot sin\alpha;

Romb / ромб:

S=\frac{1}{2}\cdot d_{1}\cdot d_{2}; \quad S=a^{2}\cdot sin\alpha;

Trapetsiya / трапеция:

S=\frac{a+b}{2}\cdot h;

Aylana va doira Doiraviy sektor va segment yuzi / Круговой сектор и сегментная грань

l=2\pi R; \quad S=\pi R^{2};

S_{sektor}=\frac{\pi R^{2}}{360}\cdot\alpha; \quad S_{segment}=\frac{R^{2}}{2}(\alpha-sin\alpha);

Vektorlar / Векторы

|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

vektorning uzunligi / длина вектора

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos\varphi

skalyar ko'paytmasi / скалярное умножение

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}

vektorlarning skalyar ko'paytmasi / скалярное произведение векторов

\vec{a}\cdot\lambda=\vec{c}(x\cdot\lambda;y\cdot\lambda;z\cdot\lambda)

Stereometriya formulalari / Формулы стереометрии

Prizma / призма | Piramida / пирамида:

V=S\cdot H; \quad V=\frac{1}{3}S\cdot H;

Kesik piramida / усеченная пирамида:

V=\frac{1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}\cdot S_{2}}+S_{2});

Silindr / цилиндр:

S_{yon}=2\pi RH; \quad V=\pi R^{2}H;

Konus / конус:

S_{yon}=\pi R l; \quad V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H;

Kesik konus / усеченный конус:

V=\frac{1}{3}\pi h(R_{1}^{2}+R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}^{2});

Shar / шар:

S=4\pi R^{2}; \quad V=\frac{4}{3}\pi R^{3};

Shar segmentining hajmi / объем шар сегмента:

V=\pi H^{2}(R-\frac{H}{3});

Shar segmentining sirtining yuzi / площадь поверхности шарового сегмента:

S_{sirt}=2\pi RH;

x, y, z

natural sonlar uchun

\frac{2x + 3y}{6} = z

bo'lsa,

x

quyidagi sonlardan qaysi biriga qoldiqsiz bo'linadi?

Hisoblang:

\left(1 - \left(1 - \left(1 - \left(1 - 2^{-2}\right)^{-1}\right)^{-3}\right)^{-1}\right)^{-1}

Oltin va kumush qotishmasining massasi 1,06 kg. Qotishmani suvga solinganda 70 gr massasini yo'qotadi. Oltin suvda massasining

\frac{1}{19}

qismini, kumush esa

\frac{1}{10}

qismini yo'qotadi. Oltin va kumushning dastlabki massalarini toping.

Avtomobilning narxi 10000\$ edi. Narx ketma-ket 15% ikki marta oshirgandan keyin avtomobilning narxi qancha bo'ladi?

m, n \in N

uchun

3^8 \cdot 3^{-2} \cdot 2^{-4} \cdot 2^8 = 2^m \cdot 3^n

bo'lsa,

m + n

ni toping.

Hisoblang:

\sqrt{22 - 30\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 5 + 3\sqrt{3}}

Hisoblang:

\frac{3}{2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}} - \frac{3}{2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{4}} + \sqrt[3]{4}

Kamayuvchi arifmetik progressiyada

a_3 = 1

a_5^2 = 25

bo'lsa,

a_1 \cdot d

ning qiymatini toping.

b_n = \frac{2^n}{3^{n-1}}

berilgan ketma-ketlikning hadlari yig'indisini toping.

10.

2^a = 3

2^b = 5

\left(\frac{25}{3}\right)^c = 405

bo'lsa,

c

a

b

orqali ifodalang.

11.

Agar

a = 1{,}9

b = 0{,}55

bo'lsa, quyidagi ifodaning qiymatini toping.

\frac{a^2 - 4b^2 - 5a + 10b}{(a + 2b)^2 - 25}

12.

Ifodani soddalashtiring.

\frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}

13.

\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{3}

tenglama

(0; 5\pi)

oraliqda nechta ildizga ega?

14.

(\sqrt{5} + 2)^{x-1} \le (\sqrt{5} - 2)^{\frac{x-1}{x+1}}

tengsizlikni musbat butun yechimlari nechta?

15.

Tenglama nechta ildizga ega?

2^{\ln x} - 3^{\frac{1}{2}\ln x} = 1

16.

|x^2 - x - 6| > 0

nechta natural son tengsizlikni yechimi bo'la olmaydi?

17.

\sqrt{x - 2} + \sqrt{1 - x} = 2

tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

18.

\frac{-2}{|x| + 1} \ge |x| - 2

tengsizlikni butun yechimlari nechta?

19.

\sqrt{3x - 2} + 15\sqrt[4]{3x - 2} = 16

tenglamaning haqiqiy ildizlari ko'paytmasini toping.

20.

g(x) = 3x^3 - x^2 - x + 4

bo'lsa,

g\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}\right)

ning qiymatini toping.

21.

\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} x \cdot \sin x\,dx

aniq integralni hisoblang.

22.

Chizmada

f(x)

g(x)

funksiya grafiklari tasvirlangan.

x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6

shu nuqtalarning nechtasida

f'(x) \cdot g(x) \ge 0

tengsizlik o'rinli bo'ladi?

23.

Aylananing uzunligi 12 bo'lsa, shu aylananing uzunligi 3 ga teng bo'lgan yoyining gradus o'lchovini toping.

24.

f(x) = ax^2 + bx + c

kvadrat funksiyaning ildizlari

x_1

x_2

(x_1 < x_2)

. Agar

|a| \cdot f(1) < 0

f(1) \cdot f(2) < 0

a \cdot f(2) > 0

bo'lsa, quyidagi munosabatlardan qaysilari o'rinli?

25.

x

ning qabul qilishi mumkin bo'lgan eng katta natural qiymatini toping.

26.

CF = 6

CG = 7

GE = 5

ED = 6

bo'lsa,

FG

kesma uzunligini toping.

27.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchakning katetlaridan kvadratlar hosil qilingan.

M

nuqta

AC

tomonning o'rta nuqtasi bo'lsa,

MN

kesma uzunligini toping.

28.

ABCDEFGH

muntazam sakkizburchak.

GHCD

to'rtburchak yuzi 12 bo'lsa, sakkizburchak yuzini toping.

29.

Chizmada tomoni 4 ga teng bo'lgan muntazam oltiburchak tasvirlangan.

\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{ED})

vektorning qiymatini toping.

30.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchakning

C

to'g'ri burchak uchidan

AB

gipotenuzaga parallel tekislik o'tkazilgan. Tekislikdan gipotenuzagacha bo'lgan eng qisqa masofa 12 ga teng. Katetlarning tekislikdagi proyeksiyalari 16 va 9 ga teng bo'lsa,

AB

gipotenuza uzunligini toping.

31.

A = \{a, b, c, d, m, n\}

B = \{a, b, c, k, l, m\}

to'plamlar berilgan.

A \cap B

to'plamning bo'sh bo'lmagan qism to'plamlar soni nechta?

32.

Tomonlari 8, 10, 12, 14 bo'lgan barcha uchburchaklardan tavakkaliga tanlangan uchburchakning muntazam bo'lish ehtimolini toping.

Topshiriqlar (33-35) va javob variantlari (A-F) ni o'zaro moslashtiring.

33-35.

Ustada bir nechta balandligi asosining diametridan ikki marta katta bo'lgan bir xil silindr shakldagi g'o'lalar bor. (

\pi \approx 3

deb oling)

Javob variantlari:

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{4}

\frac{3}{4}

Savol	A	B	C	D	E	F
33. Usta bu go'ladan iloji boricha eng katta hajmli shar o'yib olmoqchi. Bunda shar hajmining g'o'la hajmiga nisbatini toping.
34. Usta bu go'ladan eng katta hajmli parallelepiped shaklidagi to'sin yasamoqchi. O'yib olingan chiqindi hajmining to'sin hajmiga nisbatini toping.
35. Usta bu go'ladan eng katta hajmli konus yasamoqchi. O'yib olingan chiqindi hajmining g'o'la hajmiga nisbatini toping.

36.

\begin{cases} (|x| - 6)^2 + (y - 4)^2 = 9 \\ (x - 3)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}

tenglama berilgan.

a) Tenglama 4 ta ildizga ega bo'ladigan

a

ning natural qiymatini toping.

b) Tenglama 2 ta ildizga ega bo'ladigan

a

ning eng katta natural qiymatini toping.

37.

\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x + \sin 3x \ge \cos 3x(1 + \sin x)

tengsizlik berilgan.

a) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng kichik musbat sonni toping.

b) Tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng kichik musbat son va eng katta manfiy sonlar yig'indisini toping.

38.

2g(x) + 3g\left(\frac{2}{x}\right) = x

funksiya berilgan.

g(1)

ning qiymatini toping.

g(2)

ning qiymatini toping.

39.

Chizmada

(-8; 14)

oraliqda

f(x)

funksiya grafigi tasvirlangan.

(-8; 14)

oraliqda

f'(x) = 0

tenglama nechta ildizga ega.

(-8; 14)

oraliqda

f(x) \cdot f'(x) = 0

tenglama nechta ildizga ega.

40.

\int_a^b (f(x) + x \cdot f'(x))dx = 4

f(b) = 3

f(a) = 2

a + b = 3

bo'lsa.

a \cdot b

ni toping.

\int_{a-4}^{b+1} \frac{\sin 3x}{x^2 + 4}

ni hisoblang.

41.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchak uchidan chiqqan medianalari

AD = 22

BE = 19

AB

gipotenuza uzunligini toping.

ABC

uchburchak yuzini toping.

42.

ABCD

parallelogramda

DE

balandlik va

E

nuqta

AB

F

nuqta

DE

ning o'rta nuqtasi.

ABCD

parallelogrammning yuzi 48 ga teng.

CBEF

to'rtburchak yuzasini toping.

CFG

uchburchak yuzasini

AGE

uchburchak yuzasiga nisbatini toping.

43.

Muntazam sakkizburchak tomoni

a = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}

AC

ning uzunligini toping.

S_{ADE}

ni toping.

44.

Yasovchisi katta asosi tekisligi bilan

60^\circ

li burchak tashkil qiladigan va katta asos yuzasi

27\pi

ga teng bo'lgan kesik konusga shar ichki chizilgan.

a) Konus yon sirti yuzasini toping.

b) Shar hajmini toping.

45.

Usta parabola shaklidagi issiqxona qurdi va uni yashindan himoya qilish maqsadida

AB

yashin qaytargich o'rnatdi.

CG = 16

KL = 6

BE = 8

AK

— parabolaga urinma.

C

— parabolaning eng baland nuqtasi,

KL \perp AB

bo'lsa,

\operatorname{tg}\angle ADE = ?

AB

ning uzunligini toping.