Matematika (05.10.2025) 2-smena

45 ta savol · saqlash uchun kiring

Matematika formulalar varaqasi / Лист формул по математике

Tenglamalar / Уравнения

ax^{2}+bx+c=0; \quad x_{1:2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}; \quad \begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}

|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|\Rightarrow f(x)\cdot g(x)\ge0;

\frac{Ax}{ax^{2}\pm bx-c}\pm\frac{Bx}{ax^{2}\pm dx+c}=k \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{ax-\frac{c}{x}\pm b}\pm\frac{B}{ax+\frac{c}{x}\pm d}=k;

(ax^{2}\pm bx-c)(ax^{2}\pm dx+c)=Ax^{2} \quad \Rightarrow \quad (ax-\frac{c}{x}\pm b)(ax+\frac{c}{x}\pm d)=A;

ax+\frac{c}{x}=z

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = A \quad \Rightarrow \quad a+b=c+d

bo'lsa,

t=x^{2}-(a+b)x

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

Qisqa ko'paytirish formulalari / Формулы сокращённого умножения

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(a\pm b)^{2}=(a^{2}\pm2ab+b^{2})

(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})

a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

a^{2n}\pm b^{2n}=(a\pm b)(a^{2n-1}\mp a^{2n-2}b+...+ab^{2n-2}\mp b^{2n-1})

a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=(a\pm b)(a^{2n}\mp a^{2n-1}b+...+ab^{2n-1}\mp b^{2n})

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^{2}+...

...+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-(k-1))}{k!}+...+nab^{n-1}+b^{n}

Arifmetik progressiya / Арифметическая прогрессия

a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d;

a_{n}=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2} \quad (1\le k\le n-1);

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n

Geometrik progressiya / Геометрическая прогрессия

b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}; \quad b_{n}^{2}=b_{n-m}\cdot b_{n+m} \quad (1\le m\le n-1);

S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q} \quad (|q|>1);

S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q} \quad (|q|<1);

Logarifmning xossalari / Свойства логарифмов

log_{a}1=0; \quad log_{a}(x_{1}\cdot x_{2})=log_{a}|x_{1}|+log_{a}|x_{2}|;

log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}}=log_{a}|x_{1}|-log_{a}|x_{2}|; \quad log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a};

log_{a^{q}}x^{p}=\frac{p}{q}\cdot log_{a}x; \quad log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a};

lg10^{n}=n; \quad lne^{n}=n;

Daraja va ildiz / Степень и корень

a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n}; \quad a^{n}:a^{m}=a^{m-n}; \quad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n};

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}; \quad (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}; \quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};

(\frac{a^{n}}{b^{m}})^{-k}=(\frac{b^{m}}{a^{n}})^{k}; \quad (-a)^{2n}=a^{2n}; \quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1};

\sqrt[n]{a^{k}}=a^{\frac{k}{n}}; \quad \sqrt[n]{a^{k}\cdot b^{m}}=\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[n]{b^{m}};

\sqrt[n]{\frac{a^{k}}{b^{m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{k}}}{\sqrt[n]{b^{m}}}; \quad (\sqrt[n]{a^{m}})^{k}=\sqrt[n]{a^{mk}}; \quad \sqrt[n]{a^{n+k}}=a\sqrt[n]{a^{k}};

a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}}; \quad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a^{k}}}=\sqrt[nm]{a^{k}};

\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[m]{b^{p}}=\sqrt[nm]{a^{km}\cdot b^{pn}}; \quad \sqrt[n]{a^{n}}=|a| \quad (n=2k);

\sqrt[2n]{(a-b)^{2n}}=\begin{cases}a-b, & a\ge b\\ b-a, & b\ge a\end{cases}

Urinma va normal tenglamasi / Уравнение касательной и нормали

y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0});

y=f(x_{0})-\frac{1}{f^{\prime}(x_{0})}(x-x_{0});

Hosilaga doir formulalar va xossalari / Таблица производных и свойства

(x^{a})^{\prime}=ax^{a-1}; \quad (a^{x})^{\prime}=a^{x}ln a; \quad (e^{x})^{\prime}=e^{x};

(log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x ln a}; \quad (ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}; \quad (sin x)^{\prime}=cos x;

(cos x)^{\prime}=-sin x; \quad (tg x)^{\prime}=\frac{1}{cos^{2}x}; \quad (ctg x)^{\prime}=-\frac{1}{sin^{2}x};

(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}; \quad (k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime};

(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}; \quad (\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^{2}};

Integralga doir formulalar va xossalari / Таблица и свойства интегралов

\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C; \quad \int\frac{dx}{x}=ln|x|+C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C; \quad \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C;

\int sinx dx=-cosx+C; \quad \int cosx dx=sinx+C;

\int k\cdot f(x)dx=k\cdot\int f(x)dx;

\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a); \quad \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \quad (a\le c\le b);

O'rta arifmetik va o'rta geometrik / Среднее арифметическое и среднее геометрическое

A=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}; \quad G=\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n}}

Ba'zi trigonometrik formulalar / Основные формулы тригонометрии

Asosiy trigonometrik ayniyatlar / Основные тригонометрические свойства:

sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1; \quad tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}; \quad ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha};

tg^{2}\alpha+1=\frac{1}{cos^{2}\alpha}; \quad ctg^{2}\alpha+1=\frac{1}{sin^{2}\alpha};

cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta\mp sin\alpha\cdot sin\beta;

sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta\pm cos\alpha\cdot sin\beta;

tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg\alpha\pm tg\beta}{1\mp tg\alpha\cdot tg\beta}; \quad ctg(\alpha\pm\beta)=\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta\mp1}{ctg\alpha\pm ctg\beta};

sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

sin\alpha-sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2};

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2};

Trigonometrik funksiyaning ba'zi burchaklardagi qiymatlari / Значения тригонометрической функции под некоторыми углами

$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0

To'g'ri burchakli uchburchak uchun formulalar / Формулы для прямоугольного треугольника

a^2 + b^2 = c^2;

a = c \cdot \sin\alpha

b = c \cdot \cos\alpha;

a = b \cdot \text{tg}\alpha

Ixtiyoriy uchburchak uchun formulalar / Формулы для произвольного треугольника

S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

p = \frac{1}{2}(a + b + c); \quad S = \frac{1}{2}h_c \cdot c

\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

Uchburchak uchun formulalar (umumiy) / Формулы для треугольника (общие)

S=\frac{1}{2}ab sin\gamma; \quad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};

p=\frac{1}{2}(a+b+c); \quad S=\frac{1}{2}h_{c}\cdot c;

\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R; \quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha;

To'g'ri burchakli uchburchak / прямоугольный треугольник:

a^{2}+b^{2}=c^{2}; \quad a=c\cdot sin\alpha; \quad b=c\cdot cos\alpha; \quad a=b\cdot tg\alpha;

Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylana radiuslarini hisoblash formulasi /
Формула вычисления радиусов окружности, вписанной внутрь и вне треугольника

r=\frac{2S}{a+b+c}; \quad R=\frac{abc}{4S};

To'rtburchakning yuzlari uchun formulalar / Формулы граней четырехугольника

Parallelogramm / параллелограмм:

S=a\cdot h_{a}; \quad S=a\cdot b\cdot sin\alpha;

Romb / ромб:

S=\frac{1}{2}\cdot d_{1}\cdot d_{2}; \quad S=a^{2}\cdot sin\alpha;

Trapetsiya / трапеция:

S=\frac{a+b}{2}\cdot h;

Aylana va doira Doiraviy sektor va segment yuzi / Круговой сектор и сегментная грань

l=2\pi R; \quad S=\pi R^{2};

S_{sektor}=\frac{\pi R^{2}}{360}\cdot\alpha; \quad S_{segment}=\frac{R^{2}}{2}(\alpha-sin\alpha);

Vektorlar / Векторы

|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

vektorning uzunligi / длина вектора

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos\varphi

skalyar ko'paytmasi / скалярное умножение

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}

vektorlarning skalyar ko'paytmasi / скалярное произведение векторов

\vec{a}\cdot\lambda=\vec{c}(x\cdot\lambda;y\cdot\lambda;z\cdot\lambda)

Stereometriya formulalari / Формулы стереометрии

Prizma / призма | Piramida / пирамида:

V=S\cdot H; \quad V=\frac{1}{3}S\cdot H;

Kesik piramida / усеченная пирамида:

V=\frac{1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}\cdot S_{2}}+S_{2});

Silindr / цилиндр:

S_{yon}=2\pi RH; \quad V=\pi R^{2}H;

Konus / конус:

S_{yon}=\pi R l; \quad V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H;

Kesik konus / усеченный конус:

V=\frac{1}{3}\pi h(R_{1}^{2}+R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}^{2});

Shar / шар:

S=4\pi R^{2}; \quad V=\frac{4}{3}\pi R^{3};

Shar segmentining hajmi / объем шар сегмента:

V=\pi H^{2}(R-\frac{H}{3});

Shar segmentining sirtining yuzi / площадь поверхности шарового сегмента:

S_{sirt}=2\pi RH;

x

y

ning ixtiyoriy natural qiymatlarida qaysi ifoda juft son bo'ladi?

Hisoblang:

3{,}0(45)-1{,}(08)+2{,}0(45)

Kinoteatrda har bir qatordagi o'rindiqlar soni qatorlardan 4 ga ko'p. Jami o'rindiqlar soni 60 ta. (Har bir qatordagi o'rindiqlar soni teng). Nechta qator bor?

3 metr adras 5 metr atlas narxi 215000 so'm adras 12% atlas 8% arzonlashganda narxi 194200 so'm dastlabki adrasning narxi atlas narxidan qancha qimmat.

Hisoblang:

\frac{36^3+73^3}{37^3+73^3}

Hisoblang:

\sqrt{12+2\sqrt{19{,}25-\sqrt{19+6\sqrt2}}}

a=\sqrt[6]{26}

b=\sqrt[3]{5}

c=\sqrt3

sonlarni kamayish tartibida yozing.

Arifmetik progressiyada

\begin{cases}a_9=3a_3\\ a_8=2(a_3+4)\end{cases}

berilgan bo'lsa,

S_{10}

ni toping.

O'suvchi arifmetik progressiyani tashkil qiluvchi

a, b, c

sonlar yig'indisi 12 ga teng.

a+1;\ b;\ c+1

geometrik progressiyani tashkil qilsa, arifmetik progressiya ayirmasi va geometrik progressiya maxraji yig'indisini toping.

10.

Agar

\left(\frac{1}{125}\right)^{a^2+4ab}=\left(\sqrt[3]{625}\right)^{3a^2-10ab}

tenglik o'rinli bo'lsa,

\frac{a}{b}

ni toping.

11.

Agar

(a+b-5)^2+(b+2c+3)^2+(3c+a-10)^2=0

bo'lsa,

a^3+b^3+c^3

ning qiymatini toping.

12.

\dfrac{|\sin x|}{\sin x}=x

tenglama nechta haqiqiy yechimga ega?

13.

Tenglamaning eng kichik musbat ildizini toping.

\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 10x+\cos^2 11x=2

14.

2025^x+2026\cdot 2025^{1-x}=4051

tenglamaning haqiqiy ildizlari nechta?

15.

Tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

\log_{3x+4}(4x^2+12x+9)+\log_{2x+3}(6x^2+17x+12)=4

16.

x^3-\left(3+\sqrt3\right)x+3=0

tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

17.

(x^2+1)^{(x-2)(x+2)}\ge (x^2+1)^{12}

tengsizlikning

x

qabul qilmaydigan nechta butun sonlar bor?

18.

Tengsizlikni yeching:

\frac{x^3-1}{2x^2-3x+1}>1

19.

\dfrac{6}{\sqrt x+1}>2

tengsizlikning butun yechimlar yig'indisini toping.

20.

Agar

f(x)=(2+x)\left(2x+\frac1x\right)

bo'lsa,

\dfrac{f\left(\frac12\right)}{f(2)}

ni toping.

21.

Aniq integralni hisoblang:

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{12\cos x-5\sin x+13}

22.

f(x)=x^3-x^2-7x+6

funksiya grafigiga

x_0=2

nuqtada o'tkazilgan urinma

Ox

o'qi bilan hosil qilgan o'tkir burchakni toping.

23.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchakka markazi

O

nuqtada aylana ichki chizilgan. Agar

AB=DC

BD=4

AC=9

ga teng bo'lsa,

AD

kesma uzunligini toping.

24.

\dfrac{\cos^2 x+6\cos x+9}{\sin^2 x}

ifoda

\left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right]

oraliqdagi eng kichik qiymatini toping.

25.

Rasmdagi ma'lumotlar asosida bo'yalgan soha yuzini toping.

26.

Uchburchakning tomonlari

AB=5

BC=4

AC=3

ga teng.

C

uchidan

AB

tomonga

CD

bissektrisa va

CM

mediana tushirilgan.

M

D

nuqtalar orasidagi masofani toping.

27.

Rasmdagi ma'lumotlar asosida bo'yalgan soha yuzini toping.

28.

ABCDE

muntazam beshburchakning barcha diagonallari kesishidan

FGHKL

muntazam beshburchak hosil qilindi. Agar

FG=2

ga teng bo'lsa,

ABCDE

muntazam beshburchak perimetrini toping.

29.

Rasmda muntazam oltiburchak tasvirlangan.

E

nuqtaning koordinatalar ko'paytmasini toping.

30.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchak tekisligiga

C

uchiga

CD

perpendikulyar o'tkazilgan. Katetlari

AC=15

BC=20

CD=35

ga teng bo'lsa,

D

nuqtadan

AB

tomongacha bo'lgan eng qisqa masofani toping.

31.

Rasmdagi ma'lumotlar asosida

(A\cup B)'\cup C

to'plamning elementlar sonini toping.

32.

(x+2y)^5

yoyilmasing koeffisiyentlar yig'indisini toping.

Topshiriqlar (33-35) va javob variantlari (A-F) ni o'zaro moslashtiring.

33-35.

Hajmi

32\sqrt3\pi

ga teng bo'lgan sharga silindr ichki chizilgan.

Javob variantlari:

16\sqrt2\pi

64\pi

24\pi

8\sqrt2\pi

32\sqrt2\pi

32\pi

36.

Tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega bo'lsa,

\begin{cases}\log_3(x^4y^2-a)=1+\log_3(1-ax^2y^2)\\ 2^{\frac1y}=4^{|x|+1}\end{cases}

a

larning yig'indisini toping.

x+y

ning qiymatini toping.

37.

Tenglamani yeching.

\cos^2 x\cos 2x+\cos 4x+\cos 3x\cos x+2\cos^4 x=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}

a) Tenglamaning eng kichik musbat yechimini toping.

\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)

oraliqda nechta yechimga ega?

38.

f(x)

chiziqli funksiya va

g(x)

kvadrat funksiya uchun

f(2)=5

g(x-1)=x^2+1

o'rinli bo'lsa,

g(x)

ning eng kichik qiymatini toping.

f^{-1}\big(g(1)\big)

ni hisoblang.

39.

f(x)=e^{ax^2+bx+1}

funksiyada

f(1)=f(0)=f'(0)

tenglik o'rinli bo'lsa,

\frac{a}{b}

ning qiymatini toping.

[-1{,}5;2]

oraliqda

f(x)

funksiyaning eng katta qiymati

m

bo'lsa,

\ln m

ning qiymatini toping.

40.

f(x)=ax^2+bx+c

g(x)=-|x+m|+n

ga teng va simmetriya o'qi 4 ga teng bo'lsa,

n-m

ning qiymatini toping.

b) Bo'yalgan soha yuzini toping.

41.

ABC

to'g'ri burchakli uchburchak ichida radiusi

5\ cm

bo'lgan ikkita bir xil aylanalar o'zaro urinadi.

BC

gipotenuza

35\ cm

ga teng bo'lsa,

ADE

uchburchak yuzini toping.

ABC

uchburchak yuzini toping.

42.

Rasmda uchlari

A\left(2;2\sqrt3\right)

B\left(5;5\sqrt3\right)

C\left(9;3\sqrt3\right)

D\left(3;\sqrt3\right)

bo'lgan to'rtburchak tasvirlangan. Agar

\angle BAD=\beta

bo'lsa,

\sin\beta

ni toping.

ABCD

to'rtburchak yuzini toping.

43.

ABCDE

beshburchakda

AB

BC

CD

DE

tomon o'rtalarida mos ravishda

M

K

N

L

nuqtalar olingan.

MN

kesma o'rtasidan

P

KL

kesma o'rtasidan

T

nuqta olindi. Agar

AP=AE=12

\angle PAE=60^\circ

ga teng bo'lsa,

PT

kesma uzunligini toping.

APTE

to'rtburchak yuzini toping.

44.

Asosi radiusi 3 ga teng bo'lgan silindr shaklidagi g'o'ladan konus va yarim shar o'yib olindi. Agar konus yasovchisi 5 ga teng bo'lsa,

a) O'yib olgandan keyingi qolgan jism to'la sirtini toping.

b) Dastlabki g'ola hajmini toping.

45.

Quriqlikdagi

A

nuqtadan

150\ m

dagi

T

nuqtada odam suvda cho'kyabdi.

A

nuqtadan

B

nuqtagacha masofa 200 m.

T

nuqtada cho'kyotgan odamga

B

nuqtadan Anvar yordamga bormoqchi. U birchi

BC

bo'ylab

150\ m/daqiqa

tezlikda yurdi va

CT

bo'yicha

75\ m/daqiqa

tezlik bilan suvda suzdi.

a) Anvar yordamga yetib borishi uchun eng kamida qancha vaqt ketadi? Javobni butun songacha yaxlitlang.

b) Anvar yordamga yetib boradigan eng qisqa masofani toping (

\sqrt3\approx 1{,}7

deb oling).

Savol	A	B	C	D	E	F
33. Silindr hajmining eng katta qiymatini toping.
34. Silindr yon sirtining eng katta qiymatini toping.
35. Silindr hajmi eng katta bo'lsa, yon sirti yuzini toping.